可汗学院的教程:https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus,这是目前找到最好的教程,有视频、文本和练习,学习曲线非常平缓。(AP是面向高中生的,讲得会不够深入。MIT开放出来的视频是几十年的,质量太差,看着难受。网易公开课里清华的废话比较多,东西比较旧。可汗学院的鼠标视频看着也是很难受的,像素太低,等号大于号有时都分不清。)
矢量与矩阵(vectors and matrics)
点乘(dot product)就像是计算合力,点乘的结果是标量。
叉乘(cross product)的方向要用右手定则,值是面积。有点像计算电磁感应。叉乘的结果是矢量。叉乘只适用于三维矢量。
行列式(determinant)这个名词的翻译不是特别直观,它反映了坐标经过一系列转换后的一个缩放系数,绝对值大于1是放大了,小于1是缩小了,负数表示坐标翻转了。
行列式和叉乘的关系如下:
![determinant](/sites/default/files/inline-images/%E6%88%AA%E5%B1%8F2024-10-25%2012.07.50.png)
偏微分和梯度(Partial derivative and gradient)
magnitude:暂时翻译为长度,用两层绝对值符号表示,是向量各分量值的平方和再开方。
梯度可以写成倒三角形,也可以写成grad。
![Partial derivative and gradient](/sites/default/files/inline-images/%E6%88%AA%E5%B1%8F2024-11-15%2010.43.39.png)
This symbol
方向导数(Directional derivatives):偏导向量“点乘”方向单位向量,得到一个标量,物理意义是该方向上的坡度。
曲率(curvature,K)
radius of curvature: 曲率半径R
K=1/R
曲率半径越大,曲率越小,越接近直线。
helix:螺旋状物
散度(Divergence)
大于0时表示向外流出,小于0时表示向内流进。散度值等于各方向偏导相加。
div(F) = ▽·F,输入是一个矢量,输出果是一个标量。注意,这里是点乘它和grad(F)是不同的。
旋度(curl)
二维的旋度2d-curl(F) = ▽xF,输入是一个矢量,输出是一个标量。逆时针为正,顺时针为负。值的大小表示旋转速度(弧度/秒)。
三维的旋度是一个矢量。三维旋度的方向是右手定则拇指指向方向,大小(行列式)表示旋转速度的两倍(因为它是值上下两个方向旋转速度相加的结果)。
拉普拉斯算子(Laplacian)
△f = ▽·▽f(div点乘grad(f),f的梯度的散度,是一个标量),是f对各坐标分量的二次导数相加。山谷大于0,山峰小于0。其它地方的值含义暂不清楚。
调和函数(hamonic function)
拉普拉斯算子恒为0的函数。一种没有山峰或山谷的函数。例如一维函数中的线性函数。
雅可比矩阵(Jacobian)
用于坐标变换。对于二维雅可比行列式,其值可以认为是图形在坐标系转换后面积的变化比例。
![二维坐标变换](/sites/default/files/inline-images/%E6%88%AA%E5%B1%8F2025-01-13%2011.42.12.png)
![三维坐标变换](/sites/default/files/inline-images/%E6%88%AA%E5%B1%8F2025-01-13%2011.42.24.png)
Hessian matrix
![Hessian matrix](/sites/default/files/inline-images/%E6%88%AA%E5%B1%8F2024-12-06%2011.18.40.png)
二次近似(Quadratic approximation)
![Quadratic approximation](/sites/default/files/inline-images/%E6%88%AA%E5%B1%8F2024-12-06%2011.22.38.png)
梯度场(Gradient Field)
梯度场(Gradient Field)是由数量场得到的矢量场。
具体来说,如果一个多变量函数f(x1,x2,...,xn)在每个点上都有定义,并且其偏导数存在,那么该函数的梯度∇f就是一个矢量场,即梯度场。梯度场中的每个矢量都指向函数值增长最快的方向,其大小为该方向上的方向导数的最大值。
此外,梯度场的一个重要性质是其线积分与积分路径无关,只与始末位置在势函数中的值有关。这一性质类比重力场和电场,使得梯度场在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如,在物理学中,梯度常用于描述电场、磁场、温度场等的分布和变化;在工程学中,梯度则可能用于优化问题,如寻找函数的最值点。
保守矢量场(Conservative Vector Field)
保守矢量场路径无关、无旋。
如果重力场不是保守矢量场就会出现下图的情况:
![an impossible picture](/sites/default/files/inline-images/0ea8b893d313ba240f0139e7a19435d58bb489fe.png)
单位法向量(unit normal vector)
是一个与曲线或曲面垂直的向量,并且其长度(模)为 1。
Simple, Closed, Piecewise-smooth, Connected
A curve is simple if it never crosses itself, closed if it starts and ends in the same place, and piecewise-smooth if can be broken up into a finite number of smooth parts. (Smooth means differentiable.)
A region is simply connected if it never intersects itself and it has no holes.
格林定理(Green's Theorem)
![](/sites/default/files/inline-images/%E6%88%AA%E5%B1%8F2025-02-12%2011.09.46.png)
换句话说,格林定理指出旋度(公式里的区域积分部分就是旋度公式)等于对区域边界做线积分,这是非常符合旋度物理意义的直觉的。
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