可汗学院的教程：https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus，这是目前找到最好的教程，有视频、文本和练习，学习曲线非常平缓。（AP是面向高中生的，讲得会不够深入。MIT开放出来的视频是几十年的，质量太差，看着难受。网易公开课里清华的废话比较多，东西比较旧。可汗学院的鼠标视频看着也是很难受的，像素太低，等号大于号有时都分不清。）
矢量与矩阵（vectors and matrics）
点乘（dot product）就像是计算合力，点乘的结果是标量。
叉乘（cross product）的方向要用右手定则，值是面积。有点像计算电磁感应。叉乘的结果是矢量。叉乘只适用于三维矢量。
行列式（determinant）这个名词的翻译不是特别直观，它反映了坐标经过一系列转换后的一个缩放系数，绝对值大于1是放大了，小于1是缩小了，负数表示坐标翻转了。
行列式和叉乘的关系如下：
偏微分和梯度（Partial derivative and gradient）
magnitude：暂时翻译为长度，用两层绝对值符号表示，是向量各分量值的平方和再开方。
梯度可以写成倒三角形，也可以写成grad。
This symbol
方向导数（Directional derivatives）：偏导向量“点乘”方向单位向量，得到一个标量，物理意义是该方向上的坡度。
曲率（curvature，K）
radius of curvature: 曲率半径R
K=1/R
曲率半径越大，曲率越小，越接近直线。
helix：螺旋状物
散度（Divergence）
大于0时表示向外流出，小于0时表示向内流进。散度值等于各方向偏导相加。
div(F) = ▽·F，输入是一个矢量，输出果是一个标量。注意，这里是点乘它和grad(F)是不同的。
旋度（curl）
二维的旋度2d-curl(F) = ▽xF，输入是一个矢量，输出是一个标量。逆时针为正，顺时针为负。值的大小表示旋转速度（弧度/秒）。
三维的旋度是一个矢量。三维旋度的方向是右手定则拇指指向方向，大小（行列式）表示旋转速度的两倍（因为它是值上下两个方向旋转速度相加的结果）。
拉普拉斯算子（Laplacian）
△f = ▽·▽f（div点乘grad(f)，f的梯度的散度，是一个标量），是f对各坐标分量的二次导数相加。山谷大于0，山峰小于0。其它地方的值含义暂不清楚。
调和函数（hamonic function）
拉普拉斯算子恒为0的函数。一种没有山峰或山谷的函数。例如一维函数中的线性函数。
雅可比矩阵（Jacobian）
用于坐标变换。对于二维雅可比行列式，其值可以认为是图形在坐标系转换后面积的变化比例。
Hessian matrix
二次近似（Quadratic approximation）
梯度场（Gradient Field）
梯度场（Gradient Field）是由数量场得到的矢量场。
具体来说，如果一个多变量函数f(x1,x2,...,xn)在每个点上都有定义，并且其偏导数存在，那么该函数的梯度∇f就是一个矢量场，即梯度场。梯度场中的每个矢量都指向函数值增长最快的方向，其大小为该方向上的方向导数的最大值。
此外，梯度场的一个重要性质是其线积分与积分路径无关，只与始末位置在势函数中的值有关。这一性质类比重力场和电场，使得梯度场在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在物理学中，梯度常用于描述电场、磁场、温度场等的分布和变化；在工程学中，梯度则可能用于优化问题，如寻找函数的最值点。
保守矢量场（Conservative Vector Field）
保守矢量场路径无关、无旋。
如果重力场不是保守矢量场就会出现下图的情况：
单位法向量（unit normal vector）
是一个与曲线或曲面垂直的向量，并且其长度（模）为 1。
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