多变量微积分(Multivariable calculus)

By admin, 25 十月, 2024

可汗学院的教程:https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus,这是目前找到最好的教程,有视频、文本和练习,学习曲线非常平缓。(AP是面向高中生的,讲得会不够深入。MIT开放出来的视频是几十年的,质量太差,看着难受。网易公开课里清华的废话比较多,东西比较旧。可汗学院的鼠标视频看着也是很难受的,像素太低,等号大于号有时都分不清。)

矢量与矩阵(vectors and matrics)

点乘(dot product)就像是计算合力,点乘的结果是标量。

叉乘(cross product)的方向要用右手定则,值是面积。有点像计算电磁感应。叉乘的结果是矢量。叉乘只适用于三维矢量。

行列式(determinant)这个名词的翻译不是特别直观,它反映了坐标经过一系列转换后的一个缩放系数,绝对值大于1是放大了,小于1是缩小了,负数表示坐标翻转了。

行列式和叉乘的关系如下:

偏微分和梯度(Partial derivative and gradient)

magnitude:暂时翻译为长度,用两层绝对值符号表示,是向量各分量值的平方和再开方。

梯度可以写成倒三角形,也可以写成grad。

This symbol is referred to either as nabla or del. Typically nabla refers to the symbol itself while del refers to the operator it represents. This can be confusing since del can also refer to the symbol , but hey, when has math terminology ever been reasonable?

方向导数(Directional derivatives:偏导向量“点乘”方向单位向量,得到一个标量,物理意义是该方向上的坡度。

曲率(curvature,K)

radius of curvature: 曲率半径R

K=1/R

曲率半径越大,曲率越小,越接近直线。

helix:螺旋状物

散度(Divergence)

大于0时表示向外流出,小于0时表示向内流进。散度值等于各方向偏导相加。

div(F) = ▽·F,输入是一个矢量,输出果是一个标量。注意,这里是点乘它和grad(F)是不同的。

旋度(curl)

二维的旋度2d-curl(F) = ▽xF,输入是一个矢量,输出是一个标量。逆时针为正,顺时针为负。值的大小表示旋转速度(弧度/秒)。

三维的旋度是一个矢量。三维旋度的方向是右手定则拇指指向方向,大小(行列式)表示旋转速度的两倍(因为它是值上下两个方向旋转速度相加的结果)。

拉普拉斯算子(Laplacian

△f = ▽·▽f(div点乘grad(f),f的梯度的散度,是一个标量),是f对各坐标分量的二次导数相加。山谷大于0,山峰小于0。其它地方的值含义暂不清楚。

调和函数(hamonic function)

拉普拉斯算子恒为0的函数。一种没有山峰或山谷的函数。例如一维函数中的线性函数。

雅可比矩阵(Jacobian)

对于二维雅可比行列式,其值可以认为是图形在坐标系转换后面积的变化比例。

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